Question

過(guò)點(diǎn)P(

10

2

，0)作傾斜角為α的直線l與曲線x²+12y²=1交于點(diǎn)M，N．求|PM|•|PN|的最小值及相應(yīng)的α的值．

Answer 1

分析：由已知直線MN過(guò)點(diǎn)P（

10

2

，0）且傾斜角為a，可先寫(xiě)出直線的參數(shù)方程，將直線參數(shù)方程代入曲線方程x²+12y²=1交于，并將其化為一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出PM•PN的最小值．

解答：解：xz 設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）直線方程y=k（x-

10

2

），
則k=tana，向量

PM

=（x1-

10

2

，y1），

PN

=(x2-

10

2

，y2)
聯(lián)立橢圓方程得，(12k2+1) x2-12

10

k2 x+30k2 =1
韋達(dá)定理得x1+x2=

12 10 k2

12k2+1

，x1x2=

30k2-1

12k2+1

，），y1y2=  k2(x1-

10

2

)(x2-

10

2

)
則|PM||PN|=

PM

•

PN

=（x1-

10

2

，y1）•（x2-

10

2

，y2）
=(x1-

10

2

)(x2-

10

2

)+y1y2
=x1x2-

10

2

(x1+x2)+

5

2

+y1y2
=(1+k2)[x1x2-

10

2

(x1+x2)+

5

2

]
=（k²+1）（

30k2-1

12k2+1

-

10

2

12  10 k2

12k2+1

+

5

2

）
=

3+3k2

24k2+2

=

1

8

(1+

11

12k2+1

)
當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，|PM||PN|的值最小，
此時(shí)△=0，即k2=

1

18

，|PM||PN|的最小值為

19

20

于是此時(shí)a=arctan

2

6

或π-arctan

2

6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是尋求PM．PN取得最小值時(shí)的M，N的位置關(guān)系