Question

將函數(shù)y=

1+2 3 x-x2

-1（x∈[0，2

3

]）的圖象繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ（0≤θ≤α），得到曲線C．若對于每一個旋轉(zhuǎn)角θ，曲線AA₁=BC=AB=2都是一個函數(shù)的圖象，則α的最大值為

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)變換

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,矩陣和變換

分析：本題可以將曲線方程化簡，得到相應(yīng)的一個圓的方程，得知原函數(shù)圖象是圓的一部分，通過旋轉(zhuǎn)變換，根據(jù)圖象特征，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)y=

1+2 3 x-x2

-1（x∈[0，2

3

]），
∴(x-

3

)2+(y+1)2=4，x∈[0，2

3

]），y∈[-1，1]．
原函數(shù)圖象是以C（

3

，-1）為圓心，半徑為2的圓的一總分．
過原點O作圓C的切線l，
∵kOC=

-1-0

3 -0

=-

3

3

，
∴kl=-

1

kOC

=

3

．
∴直線l的傾斜角為

π

3

，
∴旋轉(zhuǎn)直線l與y軸重合時，θ=

π

6

．
∴α的最大值為

π

6

．

點評：本題考查了曲線的方程，曲線的切線，還考查了函數(shù)圖象的概念，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．