Question

一直線經過點P(-3，-

3

2

)被圓x²+y²=25截得的弦長為8，則此弦所在直線方程為

x+3=0或3x+4y+15=0

．

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心的坐標及半徑，由直線被圓截得的弦長，利用垂徑定理得到弦的一半，弦心距及圓的半徑構成直角三角形，再根據勾股定理求出弦心距，一下分兩種情況考慮：若此弦所在直線方程的斜率不存在，顯然x=-3滿足題意；若斜率存在，設出斜率為k，由直線過P點，由P的坐標及設出的k表示出直線的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設直線的距離d，讓d等于求出的弦心距列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，進而得到所求直線的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線方程．

解答：解：由圓的方程，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=5，
∵直線被圓截得的弦長為8，
∴弦心距=

52-42

=3，
若此弦所在的直線方程斜率不存在時，顯然x=-3滿足題意；
若此弦所在的直線方程斜率存在，設斜率為k，
∴所求直線的方程為y+

3

2

=k（x+3），
∴圓心到所設直線的距離d=

|3k- 3 2 |

1+k2

=3，
解得：k=-

3

4

，
此時所求方程為y+

3

2

=-

3

4

（x+3），即3x+4y+15=0，
綜上，此弦所在直線的方程為x+3=0或3x+4y+15=0．
故答案為：x+3=0或3x+4y+15=0

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，以及直線的斜截式方程，利用了分類討論的思想，當直線與圓相交時，常常由弦心距，弦的一半及圓的半徑構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．