如圖,若M是拋物線y2=x上的一定點(M不是頂點),動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點,且MA=MB.證明:直線EF的斜率為定值.
分析:設(shè)M(y02,y0),由MA=MB可得直線ME的斜率為k(k>0)方程為y-y0=k(x-y02)與直線MF的斜率互為相反數(shù)
則直線MF的斜率為-k,方程為y-y0=-k(x-y02).聯(lián)立直線與拋物線方程可分別求出E,F(xiàn)的坐標(biāo),代入直線的斜率公式可求
解答:證明:設(shè)M(y02,y0),直線ME的斜率為k(k>0),
方程為y-y0=k(x-y02).
則直線MF的斜率為-k,方程為y-y0=-k(x-y02).
y-y0=-k(x-
y
2
0
)
y2=x
消去x得ky2-y+y0(1-ky0)=0,
解得yE=
1-ky0
k
,所以xE=
(1-ky0)2
k2
,

點E的坐標(biāo)為(
(1-ky0)2
k2
1-ky0
k
)
.…(5分)
同理可得,點F的坐標(biāo)為(
(1+ky0)2
k2
,
1+ky0
-k
)

所以kEF=
yE-yF
xE-xF
=
1-ky0
k
-
1+ky0
-k
(1-ky0)2
k2
-
(1+ky0)2
k2
=
2
k
-4ky0
k2
=-
1
2y0

所以直線EF的斜率為定值.  …(10分)
點評:本題主要考查了直線與拋物線的相交關(guān)系的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是由MA=MB發(fā)現(xiàn)直線ME與MF的斜率的關(guān)系.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,設(shè)P是拋物線C1:x2=y上的動點.過點P做圓C2:x2+(y+3)2=1的兩條切線,交直線l:y=-3于A,B兩點.
(Ⅰ)求C2的圓心M到拋物線 C1準(zhǔn)線的距離.
(Ⅱ)是否存在點P,使線段AB被拋物線C1在點P處的切線平分?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)試題浙江卷 題型:044

如圖,設(shè)P是拋物線C1:x2=y(tǒng)上的動點.過點P做圓C2的兩條切線,交直線l:y=-3于A,B兩點.

(Ⅰ)求C2的圓心M到拋物線C1準(zhǔn)線的距離.

(Ⅱ)是否存在點P,使線段AB被拋物線C1在點P處得切線平分,若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省高考真題 題型:解答題

如圖,設(shè)P是拋物線C1:x2=y上的動點.過點P做圓C2:x2+(y+3)2=1的兩條切線,交直線l:y=-3于A,B兩點。
(1)求C2的圓心M到拋物線C1準(zhǔn)線的距離;
(2)是否存在點P,使線段AB被拋物線C1在點P處的切線平分?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知F為拋物線C:y2=4x焦點,其準(zhǔn)線交x軸于點M,點N是拋物線C上一點(I)如圖①,若MN的中垂線恰好過焦點F,求點N到y(tǒng)軸的距離。

(II)如圖②,已知直線l交拋物線C于點P,Q,若在拋物線C上存在點R,使FPRQ為平行四邊形,試探究直線l是否過定點?并說明理由

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,設(shè)P是拋物線C1:x2=y上的動點.過點P做圓C2:x2+(y+3)2=1的兩條切線,交直線l:y=-3于A,B兩點.
(Ⅰ)求C2的圓心M到拋物線 C1準(zhǔn)線的距離.
(Ⅱ)是否存在點P,使線段AB被拋物線C1在點P處的切線平分?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹