Question

如圖，橢圓Q：（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（c，0），過點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A，B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)。

（1）求點(diǎn)P的軌跡H的方程；
（2）若在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ（0＜θ≤），設(shè)軌跡H的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為M和N，當(dāng)θ為何值時(shí)，△MNF為一個(gè)正三角形？

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓Q：（a＞b＞0）上的點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），
則
1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x₁≠x₂，
由（1）-（2）得b²（x₁-x₂）2x+a²（y₁-y₂）2y=0
∴
∴b²x²+a²y²-b²cx=0（3）
2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（3）
故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b²x²+a²y²-b²cx=0。
（2）因?yàn)檐壽EH的方程可化為：
∴M（，），N（，-），F(xiàn)（c，0），
使△MNF為一個(gè)正三角形時(shí)，則
tan==，即a²=3b²
由于，，
則1+cosθ+sinθ=3sinθ，
得θ=arctan。