三棱錐V—ABC中,VA=VB=VC=a,VA⊥VB,VA⊥VC,當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),
⑴求三棱錐頂點(diǎn)V到底面ABC的距離,
⑵求二面角V-BC-A的正弦值。
解: (1) ∵VA⊥VB,VA⊥VC ∴VA⊥平面VBC ∴VV-ABC =VA-BCV
=
=
=
當(dāng)且僅當(dāng)∠BVC=90°時(shí)取等號(hào)
∴當(dāng)VB⊥VC時(shí)三棱錐V-ABC體積最大,最大值為
由勾股定理可得AB=BC=AC=
∴
過(guò)V作VO⊥平面ABC于O 則VO為V到平面ABC的距離 ∵VV-ABC =VA-VBC
∴
∴VO=
即V到底面ABC 的距離為 ⑵ ∵VA=VB=VC ∴V在平面ABC上的射影O為△ABC的外心 連AO并延長(zhǎng)交BC于H,連VH ∴AH⊥BC ∵VO⊥底面ABC ∴VH⊥BC ∴∠VHO為二面角的平面角 在Rt△BVC中∵BH=HC
∴VH= 在Rt△VOH中sin∠VOH=
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