Question

過拋物線y²=2px的焦點F的一條直線與它交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且直線AB的傾斜角為α，則以下正確的有：

 

．
（1）y₁y₂=-p²，x₁x₂=

p2

4

；
（2）|AB|=x₁+x₂+p；
（3）S_△AOB=

2ρ

sin2α

；
（4）|AF|=

p

1-cosα

（5）

1

|AF|

+

1

|BF|

=

2

p

（6）|BF|=

p

1+cosα

；
（7）以AB為直徑的圓與拋物線的準線相交．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,拋物線的簡單性質

專題：閱讀型,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設AB：x=

p

2

或y=k（x-

p

2

），聯(lián)立拋物線方程，由韋達定理，即可得到；
（2）由拋物線的定義可得；
由拋物線的定義可得BF=BD=p+BFcosα，則|BF|=

P

1-cosα

，同理可得|AF|=

p

1+cosα

，可判斷（4）、（5）、（6）；
（3）S_△AOB=

1

2

×

p

2

×（BFsinα+AFsinα），代入AF，BF即可得到；
（7）由于AB的中點到準線的距離等于AC與BD的和的一半，由拋物線的定義，即可判斷．

解答： 解：（1）設AB：x=

p

2

或y=k（x-

p

2

），若x=

p

2

，
則y²=p²，y₁y₂=-p²，x₁x₂=

p2

4

，
由y=k（x-

p

2

）和拋物線方程，得到k²x²-（kp+2p）x+

k2p2

4

=0，
則x₁x₂=

p2

4

，y₁y₂=-

4p2• p2 4

=-p²．故（1）對；
（2）由拋物線的定義可得，|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p，故（2）對；
（3）S_△AOB=

1

2

×

p

2

×（BFsinα+AFsinα）=

psinα

4

（

P

1-cosα

+

p

1+cosα

）=

2p

sin2α

•

psinα

4

=

p2

2sinα

，故（3）錯；
由拋物線的定義可得BF=BD=p+BFcosα，
則|BF|=

P

1-cosα

，同理可得|AF|=

p

1+cosα

，故（4）、（6）不正確；
則

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1-cosα

p

+

1+cosα

p

=

2

p

，故（5）對；
（7）由于AB的中點到準線的距離等于AC與BD的和的一半，由拋物線的定義，即為AB的一半，故以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切．故（7）錯．
故答案為：（1）（2）（5）．

點評：本題考查拋物線的定義、方程和性質，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運用韋達定理求解，考查平面幾何知識，屬于中檔題．