Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形，DC=4，O為BD的中點，E為PA的中點．
（Ⅰ）求證：OE∥平面PCD；
（Ⅱ）求直線CE與平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取CD中點F，連BF，AF，PF，只要證明OE∥PF；
（2）首先判斷PO⊥平面ABCD，建立坐標系，利用線面角的正弦值轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的余弦值解答．

解答： （Ⅰ）證明：取CD中點F，連BF，AF，PF，∴AB=DF，∵AB∥DF，∴四邊形ADFB是平行四邊形，∴AF∩BD=O，且O為AF中點，
∴OE∥PF，PF?平面PCD，OE?平面PCD，∴OE∥平面PCD；
（Ⅱ）∵平行四邊形ADFB中，AB=AD=2，AB⊥AD，∴四邊形ADFB是正方形，
∴OD⊥OF，又PB=PD=2，O為BD的中點，
∴PO⊥OD，
同理PO⊥AF，
∴PO⊥平面ABCD，
分別以OD，OF，OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖

可得平面PDC的一個法向量為

n

=(1，1，1)，

CE

=（

2

，-

5 2

2

，

2

2

），所以直線CE的一個方向向量為

a

=(2，-5，1)，
設所求線面角為θ，所以sinθ=|cos＜

n

，

a

＞|=

| n • a |

| n || a |

=

10

15

；
所以直線CE與平面PDC所成角的正弦值為

10

15

．

點評：本題考查了線面平行以及線面角的求法，線面平行的判斷關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為線線平行證明；線面角的正弦值轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的余弦值解答，屬于中檔題．