Question

已知函數(shù)f（x）=3x²+a，g（x）=2ax+1，a∈R
（1）證明：方程f（x）=g（x）恒有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）上無零點，請你探究函數(shù)y=|g（x）|在（0，2）上的單調(diào)性；
（3）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），若對任意的x∈（0，1），恒有：-1＜F（x）＜1成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：

分析：（1）由f（x）=g（x），利用根的判別式證明方程f（x）=g（x）恒有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）若函數(shù)f（x）=3x²+a在（0，2）上無零點，則a≥0或a≤-

1

2

，由此分類討論，能求出函數(shù)y=|g（x）|在（0，2）上的單調(diào)性．
（3）F（x）=f（x）-g（x）=3x²-2ax+a-1，此拋物線的開口向上，對稱軸方程為x=

a

3

，由此進行分類討論，能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： （1）證明：∵f（x）=3x²+a，g（x）=2ax+1，
由f（x）=g（x），得3x²-2ax+a-1=0，
∴△=4a²-12（a-1）=4a²-12a+12
=4(a2-3a+

9

4

)+3
=4（a-

3

2

）²+3＞0，
∴f（x）=g（x）恒有兩個不等的實數(shù)解．
（2）解：若函數(shù)f（x）=3x²+a在（0，2）上無零點，則a≥0或a≤-

1

2

，
當a≥0 時，函數(shù)y=|g（x）|=|2ax+1|=2a|x+

1

2a

|在（0，2）上的單調(diào)遞增，
當a≤-

1

2

時，函數(shù)y=|g（x）|=|2ax+1|=-2a|x+

1

2a

|在（0，-

1

2a

）上的單調(diào)遞減，
在（-

1

2a

，2）上的單調(diào)遞增． 
（3）解：F（x）=f（x）-g（x）=3x²-2ax+a-1，
此拋物線的開口向上，對稱軸方程為x=

a

3

，
①當

a

3

≤0時，要使F（x）在（0，1）內(nèi)滿足：-1＜F（x）＜1，
由函數(shù)圖象知：

F(0)≥-1 F(1)≤1

，即

a-1≥-1 3-2a+a-1≤1

，
∴

a≥0 a≥1

，∴a≥1，∵

a

3

≤0，∴a不存在．
②當a＜

a

3

≤

1

2

時，要使F（x）在（0，1）內(nèi)滿足：-1＜F（x）＜1，
由函數(shù)圖象知：

12(a-1)-4a2 12 ＞-1 F(0)≤1

，解得1≤a＜3，
而0＜

a

3

≤

1

2

，∴1≤a≤

3

2

．
③由

1

2

＜

a

3

≤1時，要使F（x）在（0，1）內(nèi)滿足：-1＜F（x）＜1，
由函數(shù)圖象知：

12(a-1)-4a2 12 ＞-1 F(0)≤1

，解得0＜a≤2，
而

1

2

＜

a

3

≤1，∴

3

2

＜a≤2．
④當

a

3

＞1時，要使

F(0)≤1 F(1)≥-1

，∴

a≥2 a≤3

，解得2≤a≤3，
而

a

3

＞1，∴a不存在，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1，2]．

點評：本題考查函數(shù)有兩個不等實數(shù)根的證明，考查函數(shù)單調(diào)性的討論，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運用．