Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x≥0時(shí)，f（x）=（

1

2

）^x，函數(shù)f（x）的值域?yàn)榧�合A．
（1）求f（-1）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=

-x2+(a-1)x+a

的定義域?yàn)榧�合B，若A⊆B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由偶函數(shù)的定義可得f（-1）=f（1），再根據(jù)x≥0時(shí)，f（x）=（

1

2

）^x，求得結(jié)果．
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，再根據(jù)x≥0時(shí)，f（x）=（

1

2

）^x，以及函數(shù)為偶函數(shù)求得f（x）的解析式，從而求得f（x）在R上的解析式．
（3）由（2）求得A=（0，1]．再由函數(shù)g（x）的解析式可得-（x-a）（x+1）≥0．分類討論結(jié)合A⊆B，可得a的范圍．

解答： 解：（1）由偶函數(shù)的定義可得f（-1）=f（1）=(

1

2

)1=

1

2

．
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，再根據(jù)x≥0時(shí)，f（x）=（

1

2

）^x，
可得 f（-x）=(

1

2

)-x=2^x．
綜上可得，f（x）=

( 1 2 )x ， x≥0 2x  ， x＜0

．
（3）由（2）可得函數(shù)f（x）的值域A=（0，1]．
函數(shù)g（x）=

-x2+(a-1)x+a

=

-(x-a)(x+1)

，可得-（x-a）（x+1）≥0．
當(dāng)a＜-1時(shí)，g（x）的定義域?yàn)锽=（a，-1），再由A⊆B，可得a∈∅．
當(dāng)a＞-1時(shí)，g（x）的定義域?yàn)锽=（-1，a），再由A⊆B，可得a＞1．
當(dāng)a=-1時(shí)，B={-1}，不滿足A⊆B．
綜上可得，a的范圍為（1，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．