Question

在數(shù)列{a_n}中，a1=-

1

2

，an+1=2an+n-1，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{a_n+n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）求S_n的最小值，指出S_n取最小值時(shí)n的值，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由遞推關(guān)系拼湊出a_n+n和a_n+1+（n+1）之間的關(guān)系式找到其比值為常數(shù)即可．
（2）由{a_n+n}是等比數(shù)列找到{a_n}的通項(xiàng)，再用分組求和的方法求出{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）先找的關(guān)系，得到猜想“n∈N^*，且n≥4時(shí)，2^n-1＞（n+1）”，再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答：（1）證明：

an+1+(n+1)

an+n

=

2an+n-1+(n+1)

an+n

=

2an+2n

an+n

=2，n∈N^*
又a1+1=-

1

2

+1=

1

2

，
所以數(shù)列{a_n+n}是首項(xiàng)為

1

2

，且公比為2的等比數(shù)列
（2）解：
由（1）可知a_n+n=

1

2

×2^n-1=2^n-2
于是數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^n-2-n
所以數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=

1 2 (1-2n)

1-2

-

(1+n)n

2

=2n-1-

n(n+1)

2

-

1

2

（3）對(duì)任意的n∈N^*，S_n+1-S_n=(2n-

(n+1)(n+2)

2

-

1

2

)-(2n-1-

n(n+1)

2

-

1

2

)=2^n-1-（n+1）
n=1時(shí)，2^n-1-（n+1）=-1＜0  所以S₂＜S₁    
n=2時(shí)，2^n-1-（n+1）=-1＜0    所以S₃＜S₂
n=3時(shí)，2^n-1-（n+1）=0        所以S₄=S₃
n=4時(shí)，2^n-1-（n+1）=3＞0      所以S₅＞S₄
猜想“n∈N^*，且n≥4時(shí)，2^n-1＞（n+1）”
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=4時(shí)，已證
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥4）時(shí)，命題成立，即2^k-1＞（k+1）
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k=2×2^k-1＞2（k+1）=（k+2）+k＞k+2=（k+1）+1
這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立
根據(jù)①和②，可知當(dāng)n∈N^*且n≥4時(shí)，不等式2^n-1＞（n+1）都成立
綜上S₁＞S₂＞S₃=S₄＜S₅＜S₆＜＜S_n＜S_n+1＜
所以當(dāng)n=3，?n=4時(shí)，S_n取到最小值：-

5

2

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，既有等比數(shù)列的證明和數(shù)列的求和，又用到了數(shù)學(xué)歸納法的證明，是一道中檔題．