Question

已知是中心在坐標(biāo)原點的橢圓的一個焦點，且橢圓的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)：、為橢圓上不同的點，直線的斜率為；是滿足（）的點，且直線的斜率為．

①求的值；

②若的坐標(biāo)為，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）①；②實數(shù)的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先根據(jù)題中的已知條件以及、、三者之間的關(guān)系求出、、的值，從而確定橢圓的方程；（Ⅱ）①解法一是利用斜率公式先將、利用點和的坐標(biāo)進行表示，然后借助點差法求出的值；解法二是將直線的方程假設(shè)出來，借助韋達定理與這一條件確定與之間的關(guān)系，進而從相關(guān)等式中求出的值；②先確定直線的斜率，然后假設(shè)直線的方程為，利用韋達定理確定與之間的等量關(guān)系，再利用直線與橢圓有兩個不同的公共點結(jié)合確定實數(shù)的取值范圍，進而得到實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）依題意，可設(shè)橢圓的方程為（），      1分

由，，得，

由，可得，      3分

故橢圓的方程為．      4分

（Ⅱ）解法一：①由、且存在，得，      5分

由，且存在，得，

則.      6分

∵，在橢圓上，∴，，   7分

兩式相減得，，

∴．      8分

②若的坐標(biāo)為，則，由①可得.

設(shè)直線（），

由得，      9分

所以.

∵，∴，.      10分

又由，解得，      11分

∴且．      12分

解法二：①設(shè)直線（），

若，則

由滿足（，），得，

∵直線的斜率存在，∴.      5分

由得  (*).     6分

∵、，∴.     7分

∵，滿足，

∴直線的斜率，

  經(jīng)化簡得.      9分

②若的坐標(biāo)為，則，由①可得.     10分

∴方程(*)可化為，

           下同解法一.

考點：橢圓方程、點差法、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系