解:(I)設(shè)點(diǎn)P(x
0,y
0)是橢圓上一點(diǎn),
則Q(x
0,0),M(x,y),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/221697.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534346.png)
.
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9373.png)
,(1分)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534347.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534348.png)
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,3y).(3分)
點(diǎn)P在橢圓上,代入橢圓方程得:9x
2+18y
2=18.
即曲線E的方程為x
2+2y
2=2.(5分)
(II)設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
將直線方程y=x+m與9x
2+18y
2=18聯(lián)立
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534349.png)
去y,得3x
2+4mx+2m
2-2=0.
由△=(4m)
2-12(2m
2-2)>0,解得0≤m
2<3.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/57487.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534350.png)
.(7分)
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9374.png)
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534351.png)
.
而x
1x
2+y
1y
2=x
1x
2+(x
1+m)•(x
2+m)
=2x
1x
2+m(x
1+x
2)+m
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534352.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534353.png)
(10分)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534354.png)
,即m
2>2,又0≤m
2<3,
∴2<m
2<3.
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534355.png)
.(12分)
分析:(I)先設(shè)出點(diǎn)P以及M的坐標(biāo),求出
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/221697.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534346.png)
;再結(jié)合
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9373.png)
,即可把點(diǎn)P的坐標(biāo)用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出來(lái);最后把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程即可求出曲線E的方程;
(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與曲線E的方程可得點(diǎn)A、B坐標(biāo)與m之間的關(guān)系;再結(jié)合
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9374.png)
,即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍(注意須滿(mǎn)足直線一定與曲線E相交).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于:忘記直線一定與圓錐曲線相交這一限制條件,從而得到錯(cuò)誤結(jié)論.