Question

設二次方程anx2-an+1x+1=0，n∈N₊有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3，a₁=1
（1）試用a_n表示a_n+1；            
（2）證明{an-

2

3

}是等比數(shù)列；
（3）設cn=n•(an-

2

3

)，n∈N₊，T_n為{c_n}的前n項和，證明：Tn＜

4

3

（n∈N₊）．

Answer 1

分析：（1）直接利用韋達定理求出兩根之和以及兩根之積，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得到結論；
（2）對（1）的結論兩邊同時減去

2

3

整理即可證{an-

2

3

}是等比數(shù)列；
（3）確定{c_n}的通項，由此利用錯位相減法，即可證得結論．

解答：（1）解：∵二次方程anx2-an+1x+1=0，n∈N₊有兩根α和β，
∴由韋達定理得：α+β=

an+1

an

，α•β=

1

an

，
∵6α-2αβ+6β=3，a₁=1，
∴6•

an+1

an

-2•

1

an

=3，
∴a_n+1=

1

2

a_n+

1

3

，n∈N₊；
（2）證明：∵a_n+1=

1

2

a_n+

1

3

，∴a_n+1-

2

3

=

1

2

（a_n-

2

3

），
∵a₁=1，∴a₁-

2

3

=

1

3

∴{an-

2

3

}是以

1

3

為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（3）證明：由（2）知，a_n-

2

3

=

1

3

•(

1

2

)n-1
∴cn=n•(an-

2

3

)=

n

3

•(

1

2

)n-1
∴T_n=

1

3

[1+2•

1

2

+3•（

1

2

）²+…+n•（

1

2

）^n-1]，
∴

1

2

T_n=

1

3

[1•

1

2

+2•（

1

2

）²+3•（

1

2

）³+…+（n-1）•（

1

2

）^n-1+n•（

1

2

）ⁿ]，
兩式相減可得

1

2

T_n=

1

3

[1+

1

2

+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）^n-1-n•（

1

2

）ⁿ]
∴T_n=

2

3

-

2

3

•（

1

2

）ⁿ-

1

3

n•（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴T_n＜

2

3

＜

4

3

．

點評：本題是對數(shù)列的遞推關系以及韋達定理和等比數(shù)列知識的綜合考查，考查不等式的證明，綜合性強，難度大．