Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中點，F是AD的中點．
（1）求異面直線PD一AE所成角的大��；
（2）求證：EF⊥平面PBC；
（3）求二面角F-PC-B的大�。�

Answer 1

分析：因為DA、DP、DC兩兩垂直，故可用向量法求解．
（1）寫出PD和AE的坐標，由夾角公式求出余弦值，再由異面直線所成角的范圍求出角即可；
（2）只要證明EF⊥PB、EF⊥PC即可，要證垂直，只要數量積為0．
（3）求出平面PFC和平面PBC的法向量，由夾角公式求解即可．

解答：解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，則
A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0），
D（0，0，0），P（0，0，2），E（1，1，1）
∴

AE

=(1，-1，1)，

DP

=(0，0，2)．
∴

AE

•

DP

=1×0+(-1)×0+1×2=2．
又∵|

AE

|=

3

，|

DP

|=2，
∴cos＜

AE

，

DP

＞=

AE • DP

| AE |•| DP |

=

2

2 3

=

3

3

．
故異面直線AE與DP所成角的大小為arccos

3

3

．
（2）F(0，1，0)，

EF

=(-1，0，-1)，

PB

=(2，2，-2)，

PC

=(2，0，-2)．
∴

EF

•

PB

=（-1）×2+0×2+（-1）×（-2）=0，
∴EF⊥PB．
∵

EF

•

PC

=（-1）×2+0×0+（-1）×（-2）=0，
∴EF⊥PC．
又∵PB∩PC=P，
∴EF⊥平面PBC．
（3）設平面PFC的法向量為m=（x，y，z）.

FC

=(2，-1，0)
則

m• FC =0 m• PC =0.

則

2x-y=0 2x-2z=0.

令z=1，則m=（1，2，1）．
由（2）知平面PBC的法向量為

FE

=(1，0，1)．
cos＜m，

FE

＞

m• FE

|m|| FE |

=

2

6 • 2

=

3

3

．
則二面角F-PC-B的大小為為arccos

3

3

．

點評：本題考查空間的垂直的證明和空間角：異面直線所成的角、二面角的求法，考查運算能力．