Question

（12分）已知等差數列的公差大于0,且是方程的兩根,數列的前項的和為，且．
（1）求數列，的通項公式；
（2）記,求證：；
（3）求數列的前項和．

Answer 1

（1） （2）見解析；（3） 。

解析試題分析：（1）由已知可得，a₃+a₅= 14， a₃•a₅=45且a₅＞a₃，聯(lián)立方程解得a₅，a₃，進一步求出數列{a_n}通項，數列{b_n}中，利用遞推公式b_n= s_n-s_n-1，n≥2
s_{1 ，}n=1
（2）把（1）中求得的a_n和b_n代入c_n=a_nb_n，求得c_n，進而可求得c_n+1-c_n求得結果小于等于0，原式得證．
（3）用錯位相減求數列{c_n}的前n和
解：（1）∵，是方程的兩根，且數列的公差>0，
∴=5，=9，公差∴………3分
又當=1時，有 
當
∴數列{}是首項，公比等比數列，
∴                                …………4分
（2）由（1）知         …………6分
∴
∴                               …………………………8分
（3），設數列的前項和為，
            （1）
       (2)    ………………10分
得：
化簡得：                      ………………………12分
考點：本試題主要考查了等差數列的通項公式和等比數列的通項公式，屬基礎題．
點評：解決該試題的關鍵是利用遞推公式求通項，體現了數學中的轉化思想；一般的，若數列{a_n}為等差數列，{b_n}為等比數列，求數列{a_n•b_n}的前n和可采用錯位相減法．