Question

已知向量，，且．

求及；

若的最小值是，求實數(shù)的值；

設，若方程在內有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件及平面向量的坐標表示與模的坐標表示，

可以得到；

由（1）可得，原問題等價為求使的最小值為的的值，這是一個二次函數(shù)與三角函數(shù)的復合函數(shù)，需分別討論以下三種情況：①，②，③下取得最小值的情況，從而可以得到；（3）當時，，根據(jù)正弦函數(shù)在及上取值的對稱性，設，要保證題中方程有兩個不同的解，必須保證方程，在僅有一根或有兩個相等根，由一元二次方程根的分布，可得或．

（1）∵，，

∴

∵， ∴ ∴ 4分

（2）由（1）得，即

∵， ∴

①當時，當且僅當時，取得最小值，這與已知矛盾．

②當時，當且僅當時，取最小值

由已知得，解得

③當時，當且僅當時，取得最小值．

由已知得，解得，這與相矛盾．

綜上所述，為所求． 9分；

根據(jù)正弦函數(shù)在及上取值的對稱性，因此設問題等價于方程，在僅有一根或有兩個相等根，∴或∴或

綜上，的取值范圍是：或 14分．

考點：1．平面向量數(shù)量積與模的坐標表示；2．二次函數(shù)與三角函數(shù)綜合；3．一元二次方程根的分布．