Question

設奇函數(shù)f（x）定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1）=0，則不等式

3f(x)-2f(-x)

5x

＜0的解集為（　�。�

• A、（-1，0）∪（1，+∞）
• B、（-∞，-1）∪（0，1）
• C、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• D、（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)思想,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)已給的函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，可畫出其圖象，注意過點（1，0）和（-1，0），且在（-∞，0）和（0，+∞）上有相同的單調(diào)性，再將要解的不等式據(jù)函數(shù)性質(zhì)化簡為xf（x）＜0，據(jù)圖可得不等式的解集．

解答： 解：∵奇函數(shù)f（x）定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上，在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1）=0，
∴函數(shù)f（x）的關于原點對稱，且在（-∞，0）上也是增函數(shù)，過點（-1，0），所以可將函數(shù)f（x）的圖象畫出，大致如下

∵f（-x）=-f（x），∴不等式

3f(x)-2f(-x)

5x

＜0可化為

f(x)

x

＜0，即xf（x）＜0，不等式的解集即為自變量與函數(shù)值異號的x的范圍，
據(jù)圖象可知x∈（-1，0）∪（0，1）．
故選D

點評：此題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，解題抓住兩點：①抽象函數(shù)直觀化，即借助于圖象表現(xiàn)其性質(zhì)，借助于圖象求解；②函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的關系，奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)的單調(diào)性則相反．