Question

過(guò)已知點(diǎn)(3，0)的直線l與圓x²＋y²＋x－6y＋3＝0相交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ(其中O為原點(diǎn))，求直線l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

　　分析：若設(shè)點(diǎn)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則由OP⊥OQ，可得·＝－1．由P，Q分別在圓及直線上，可借助方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．

　　解：設(shè)點(diǎn)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，直線l的方程為x＋ay－3＝0．則點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別滿足方程組

　　消去y，得(a²＋1)x²＋(a²＋6a－6)x＋3a²－18a＋9＝0．

　　所以x₁x₂＝�、�

　　消去x，得(a²＋1)y²－(7a＋6)y＋15＝0．

　　所以y₁y₂＝．　②

　　因?yàn)镺P⊥OQ，所以·＝－1，

　　即y₁y₂＋x₁x₂＝0．

　　將①②代入上式，解得a＝2，或a＝4．

　　所以直線l的方程為x＋2y－3＝0，或x＋4y－3＝0．

　　點(diǎn)評(píng)：本題巧用根與系數(shù)的關(guān)系，列出y₁y₂＋x₁x₂＝0，進(jìn)而求方程得解．另外，將過(guò)點(diǎn)(3，0)的直線的方程設(shè)為x＋ay－3＝0可避免分類(lèi)討論．