【題目】已知點(diǎn)在
上,以R為切點(diǎn)的D的切線的斜率為
,過(guò)
外一點(diǎn)A(不在x軸上)作
的切線
,點(diǎn)BC為切點(diǎn),作平行于
的切線
(切點(diǎn)為D),點(diǎn)MN分別是與
的交點(diǎn)(如圖).
(1)用BC的縱坐標(biāo)st表示直線的斜率;
(2)設(shè)三角形面積為S,若將由過(guò)
外一點(diǎn)的兩條切線及第三條切線(平行于兩切線切點(diǎn)的連線)圍成的三角形叫做“切線三角形”,如
,再由MN作“切線三角形”,并依這樣的方法不斷作切線三角形…,試?yán)?/span>“切線三角形”的面積和計(jì)算由拋物線及
所圍成的陰影部分的面積T.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)根據(jù)題意可知設(shè)出直線方程,由切線斜率的定義即可表示出直線的斜率;
(2)求得切線的斜率,可得D的坐標(biāo),求得直線的方程,運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得A關(guān)于D的對(duì)稱點(diǎn)在直線
上,求得D為
的中點(diǎn),根據(jù)
為三角形
的中位線,且E為
的中點(diǎn),D為
的中點(diǎn),求得三角形
的面積,再由三角形的面積之比與對(duì)應(yīng)邊的比的關(guān)系,可得由拋物線外作出的“切線三角形”的面積構(gòu)成以
為首項(xiàng),
為公比的等比數(shù)列,運(yùn)用無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式,可得所有面積和,即可得到所求面積T.
解:(1)設(shè)切線方程為
,
,將B,C的縱坐標(biāo)代入得
(2)設(shè),則
,
∴,(s,t為B,C的縱坐標(biāo)),
由此可得
設(shè)利用切線方程得:
即
,兩式相減得:
,
,
,
由前面計(jì)算可知:平行于橫軸,可得
,
,將
,代入
,
由,
所以D為的中點(diǎn);
設(shè):,由上可知
,
由M,N確定的切線三角形的面積為,
后一個(gè)切線三角形的面積是前一切線三角形面積的,
由此繼續(xù)下去可得算式:
,
,
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)
,使得
成立,則稱函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)具有唯一零點(diǎn).
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)是否具有唯一零點(diǎn),說(shuō)明理由:
(2)已知向量,
,
,證明
在區(qū)間
內(nèi)具有唯一零點(diǎn).
(3)若函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)具有唯一零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】當(dāng)時(shí),若函數(shù)
的圖象與
的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),則正實(shí)數(shù)
的取值范圍是( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),
.已知函數(shù)
,
.
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)已知函數(shù)和
的圖象在公共點(diǎn)(x0,y0)處有相同的切線,
(i)求證:在
處的導(dǎo)數(shù)等于0;
(ii)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間
上恒成立,求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有一容積為的正方體容器
,在棱
、
和面對(duì)角線
的中點(diǎn)各有一小孔
、
、
,若此容器可以任意放置,則其可裝水的最大容積是( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種“籠具”由內(nèi),外兩層組成,無(wú)下底面,內(nèi)層和外層分別是一個(gè)圓錐和圓柱,其中圓柱與圓錐的底面周長(zhǎng)相等,圓柱有上底面,制作時(shí)需要將圓錐的頂端剪去,剪去部分和接頭忽略不計(jì),已知圓柱的底面周長(zhǎng)為,高為
,圓錐的母線長(zhǎng)為
.
(1)求這種“籠具”的體積(結(jié)果精確到0.1);
(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個(gè)“籠具”,該材料的造價(jià)為每平方米8元,共需多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在下列命題中,正確的命題有________(填寫(xiě)正確的序號(hào))
①若,則
的最小值是6;
②如果不等式的解集是
,那么
恒成立;
③設(shè)x,,且
,則
的最小值是
;
④對(duì)于任意,
恒成立,則t的取值范圍是
;
⑤“”是“復(fù)數(shù)
(
)是純虛數(shù)”的必要非充分條件;
⑥若,
,
,則必有
;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為
,
,上、下頂點(diǎn)為
,
,記四邊形
的內(nèi)切圓為
.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知圓的一條不與坐標(biāo)軸平行的切線
交橢圓
于P,M兩點(diǎn).
(i)求證:;
(ii)試探究是否為定值.
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