Question

已知函數f（x）=lnx-ax，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在任意點處的切線的傾斜角都是銳角，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數f（x）在區(qū)間（

1

e

，e）內有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，曲線y=f（x）在任意點處的切線的傾斜角都是銳角，則f′（x）＞0在x＞0時恒成立，運用參數分離，求出右邊函數的范圍，即可得到a的取值范圍；
（Ⅱ）由于函數f（x）在區(qū)間（

1

e

，e）內有零點，則lnx=ax在區(qū)間（

1

e

，e）內有實根，即有a=

lnx

x

在區(qū)間（

1

e

，e）內有實根．令g（x）=

lnx

x

，求出導數，判斷單調性，求出g（x）的值域即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）=lnx-ax的導數為：
f′（x）=

1

x

-a，
曲線y=f（x）在任意點處的切線的傾斜角都是銳角，
則f′（x）＞0在x＞0時恒成立，
即有a＜

1

x

在x＞0時恒成立，
則有a≤0；
（Ⅱ）由于函數f（x）在區(qū)間（

1

e

，e）內有零點，
則lnx=ax在區(qū)間（

1

e

，e）內有實根，
即有a=

lnx

x

在區(qū)間（

1

e

，e）內有實根．
令g（x）=

lnx

x

，g′（x）=

1-lnx

x2

，
當

1

e

＜x＜e時，g′（x）＞0，g（x）遞增．
則g（x）∈（-e，

1

e

），
則有a的取值范圍是（-e，

1

e

）．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程和求單調區(qū)間，考查函數的單調性的運用，考查函數和方程的轉換思想，考查運算能力，屬于中檔題．