Question

某產品按質量分為10個檔次,生產第一檔(即最低檔次)的利潤是每件8元,每提高一個檔次,利潤每件增加2元,但在相同的時間內產量減少3件.在相同的時間內,最低檔的產品可生產60件.問在相同的時間內,生產第幾檔次的產品的總利潤最大?有多少元?

Answer 1

分析：在一定條件下,“利潤最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強度最大”等問題,在生產、生活中經常用到,在數學上這類問題往往歸結為求函數的最值問題.除了常見的求最值的方法外,還可用求導法求函數的最值.但無論采取何種方法都必須在函數的定義域內進行.

解法一 設相同的時間內,生產第x(x∈N*,1≤x≤10)檔次的產品利潤y最大.        

依題意,得y=［8+2(x-1)］［60-3(x-1)］          

=-6x²+108x+378

=-6(x-9)²+864(1≤x≤10),                     

顯然,當x=9時,y_max=864(元),

即在相同的時間內,生產第9檔次的產品的總利潤最大,最大利潤為864元.   

解法二 由上面解法得到y=-6x²+108x+378.

求導數,得y′=-12x+108.

令y′=-12x+108=0,

解得x=9.因為x=9∈［1,10］,y只有一個極值點,所以它是最值點,即在相同的時間內,生產第9檔次的產品利潤最大,最大利潤為864元.