Question

如圖，以過原點的直線的傾斜角θ為參數，則圓x²+y²-2y=0的參數方程為

 

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Answer 1

考點：直線的參數方程

專題：坐標系和參數方程

分析：先將圓的方程化為標準方程，從而得圓心坐標與半徑．當直線與圓相交時，設直線與圓的另一個交點為M（x，y），根據直角三角函數的定義，用θ表示|OM|，再由任意角的三角函數的定義得x與θ的關系，及y與θ的關系，即可得圓的參數方程．

解答： 解：方程x²+y²-2y=0的標準方程為x²+（y-1）²=1，
可知，圓心坐標為（0，1），半徑為1，顯然，此圓與x軸相切于坐標原點O．
設圓與y軸的另一個交點為P，如右圖所示．
①當題設直線與圓相交時，設直線與圓的另一個交點為M（x，y），
連結P，M，在直角三角形OPM中，有|OM|=|OP|sinθ=2sinθ，
由三角函數的定義得

x=|OM|cosθ y=|OM|sinθ

，即

x=2sinθcosθ y=2sin2θ

，
得

x=sin2θ y=2sin2θ

（θ∈（0，π））．
②當題設直線與圓相切時，此直線即為x軸，此時x=y=0，可取θ=0．
綜上知，圓x²+y²-2y=0的參數方程為

x=sin2θ y=2sin2θ

（θ∈[0，π））．
故答案為

x=sin2θ y=2sin2θ

（θ∈[0，π））．

點評：1．本題考查了圓的參數方程，涉及圓的標準方程，三角函數的定義等．求參數方程，只需獲得x，y關于θ的表達式即可．用θ表示|OM|是求解本題的突破口．
2．為了使參數方程更明確，可給出θ的范圍．事實上，本題中給定θ∈R也可以，不過注明θ∈[0，π）就已經足夠了．