Question

分別以雙曲線G：的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線G的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓C，過橢圓C的右焦點(diǎn)作與x、y兩軸均不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在y軸上是否存在點(diǎn)N（0，n），使得？若存在，求出n的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）依題意可設(shè)橢圓C的方程為，a²=4，c²=2，b²=2．由此可知橢圓C的方程為
（II）橢圓C的右焦點(diǎn)為，得設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），記AB的中點(diǎn)為M（x，y），，由此入手能夠推導(dǎo)出n的取值范圍．
解答：解：（I）依題意可設(shè)橢圓C的方程為，
且a²=2+2+=4，c²=a²-b²=2，∴b²=2．（2分）
所以橢圓C的方程為（4分）
（II）橢圓C的右焦點(diǎn)為，


得（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），記AB的中點(diǎn)為M（x，y），
，
∴，
若存在點(diǎn)，
等價(jià)于存在點(diǎn)，
從而，（8分）
解得，
當(dāng)時(shí)取等號．（10分）
當(dāng)
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．（11分）
所以存在點(diǎn)
且n的取值范圍是（14分）
點(diǎn)評：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，仔細(xì)解答．