Question

設集合A={x|log 

1

2

（3-x）≥-2}，B={x|

2a

x-a

＞1}．
（1）求集合B；
（2）若A∩B≠∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法,交集及其運算,其他不等式的解法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）將不等式

2a

x-a

＞1化為

3a-x

x-a

＞0，再轉化為（x-a）（x-3a）＜0，對a分類討論并分別求出解集B；
（2）先將原不等式化為：log

1

2

（3-x）≥log

1

2

4，根據對數函數的性質求出x的范圍，即求出集合A，根據（1）和A∩B≠∅，分類求出實數a的取值范圍，最后要并在一起．

解答： 解：（1）由

2a

x-a

＞1得，

2a

x-a

-1＞0，即

3a-x

x-a

＞0，
所以（x-a）（x-3a）＜0，
當a＞0時，則B={x|a＜x＜3a}；
當a＜0時，則B={x|3a＜x＜a}；
當a=0時，則B=∅；
（2）由log

1

2

（3-x）≥-2得，log

1

2

（3-x）≥log

1

2

4，
所以0＜3-x≤4，解得-1≤x＜3，
則集合A={x|-1≤x＜3}，
因為A∩B≠∅，所以B≠∅，
當a＞0時，B={x|a＜x＜3a}，所以0＜a＜3；
當a＜0時，B={x|3a＜x＜a}，所以a＞-1，即-1＜a＜0；
綜上得，實數a的取值范圍是（-1，0）∪（0，3）．

點評：本題考查對數不等式、分式不等式的求法，需要進行等價轉化，以及對數函數的性質，考查轉化思想和分類討論思想．