Question

設函數f（x）=x²+aln（x+2）、g（x）=xe^x，且f（x）存在兩個極值點x₁、x₂，其中x₁＜x₂．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）求g（x₁-x₂）的最小值；
（Ⅲ）證明不等式：

f(x1)

x2

＜-1．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）f（x）存在兩個極值點，等價于其導函數有兩個相異零點；
（Ⅱ）先找出（x₁-x₂）的取值范圍，再利用g（x）的導函數可找出最小值；
（Ⅲ）適當構造函數，并注意x₁與x₂的關系，轉化為函數求最大值問題，證明相關不等式．

解答： 解：（Ⅰ）由題：f′(x)=2x+

a

x+2

(x＞-2)
∵函數f（x）存在兩個極值點x₁、x₂，且x₁＜x₂
∴關于x的方程2x+

a

x+2

=0即2x²+4x+a=0在（-2，+∞）內有不等二實根
令S（x）=2x²+4x（x＞-2）、T（x）=-a，則

由圖象可得-2＜-a＜0即0＜a＜2
∴實數a的取值范圍是（0，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

x1+x2=-2 -2＜x1＜-1

，
∴x₁-x₂=x₁-（-2-x₁）=2x₁+2，
∴-2＜x₁-x₂＜0，
由g（x）=xe^x得g'（x）=（x+1）e^x，
∴當x∈（-2，-1）時，g'（x）＜0，即g（x）在（-2，-1）單調遞減；
當x∈（-1，0）時，g'（x）＞0，即g（x）在（-1，0）單調遞增；
∴g(x1-x2)min=g(-1)=-

1

e

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知

a=2x1x2 x1=-2-x2 -1＜x2＜0

，
∴

f(x1)

x2

=

x 2 1 +aln(x1+2)

x2

=x2+

4

x2

-2(x2+2)ln(-x2)+4，
令-x₂=x，則0＜x＜1且

f(x1)

x2

=-x-

4

x

+2(x-2)lnx+4，
令F(x)=-x-

4

x

+2(x-2)lnx+4(0＜x＜1)，則F′(x)=-1+

4

x2

+2lnx+

2(x-2)

x

=

4

x2

-

4

x

+2lnx+1(0＜x＜1)，
∴F″(x)=-

8

x3

+

4

x2

+

2

x

=

2(x2+2x-4)

x3

，
∵0＜x＜1，
∴F''（x）＜0即F'（x）在（0，1）上是減函數，
∴F'（x）＞F'（1）=1＞0，
∴F（x）在（0，1）上是增函數，
∴F（x）＜F（1）=-1即

f(x1)

x2

＜-1．

點評：本題考查導函數，函數的單調性，最值，不等式證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．