Question

 已知二次函數(shù)y=f（x）在x= 處取得最小值- （t﹥0），f（1）=0， （1）求y=f（x）的表達(dá)式；（2）若任意實(shí)數(shù)x都滿足等式f（x）g（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹ （g（x）為多項(xiàng)式，n∈N⁺）試用t表示a_n和b_n；（3）設(shè)圓C_n的方程為（x-a_n）²+（y-b_n）²=r ，圓C_n與C_n+1 外切（n=1，2，3…），｛r_n｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，記S_n為前n個圓的面積之和，求r_n，s_n。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）設(shè)f（x）=a（x-）²-，因?yàn)閒（1）=0，所以a（1-）²-=0，得a=1，

       ∴f（x）=x²-（t+2）x+t+1

           （2） f（x）=（x-1）[x-（t+1）]，代入已知等式得

（x-1）[x-（t+1）]g（x）+ a_nx+b_n=xⁿ⁺¹

將x=1，x=t+1代入上式得  a_n+b_n=1

                         （t+1）a_n+b_n=（t+1）ⁿ⁺¹

由t≠0可得 a_n= [（t+1）ⁿ⁺¹-1]，b_n=[1-（t+1）ⁿ]

（3）因?yàn)閍_n+b_n=1，所以圓C_n的圓心O_n在直線x+y=1上，

∴︱O_nO_n+1︱=︱a_n+1-a_n︱=(t+1)ⁿ

又∵C_n與C_n+1外切，∴r_n+r_n+1=(t+1)ⁿ

設(shè)｛r_n｝的公比為q，則  r_n+q r_n=(t+1)ⁿ①

r_n+1+q r_n+1=(t+1)ⁿ⁺¹②

②÷①

得q=t+1，由①知r₁=

∴r_n= r₁q^n-1=

∴S_n=（r₁²+r₂²+…r_n²）=

    =