Question

如圖,正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a(0＜a＜).

（1）求MN的長.

（2）當a為何值時，MN的長最小?

（3）當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角α的大小.

Answer 1

解析：為了求（1）中MN的長，根據圖形特征，建立坐標系，寫出的坐標形式，利用模公式求解.在（1）的基礎上很容易求解（2），求解二面角時利用定義作出平面角，再用向量解決，也可用法向量求解.?

解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，由題設得?

A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0）.?

∵CM=BN=a,∴M(,0,1- a),N(,,0), =(0,,a-1).?

∴||=(0＜a＜).?

（2）由（1）知||=(0＜a＜).?

當a=時，||取得最小值，此時M、N分別是AC、BF的中點.?

（3）由（2）知,∵M、N分別為AC、BF的中點，?

∴AM=AN，BM=BN且M（，0，），N（，，0）.?

設MN的中點為O，則O（，，）且OA⊥MN，OB⊥MN.?

∴∠AOB為二面角A-MN-B的平面角，=（，-，-），=（-，-，-）.

∴·=，?

||=||=.?

∴cos∠AOB=.?

∴∠AOB=π-arccos,?

即二面角α的大小為π-arccos.