Question

已知數(shù)列{a_n}中，（n≥2，n∈N₊），
（1）若，數(shù)列{b_n}滿足（n∈N₊），求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）若，求數(shù)列{a_n}中的最大項與最小項，并說明理由；
（3）若1＜a₁＜2，試證明：1＜a_n+1＜a_n＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，只需證明它的后一項與前一項的差為非零常數(shù)即可，先根據(jù)數(shù)列{a_n}的遞推公式推出數(shù)列{b_n}的遞推公式，即可證明．
（2）由（1）可得數(shù)列{b_n}的通項公式，再由，可得數(shù)列{a_n}的通項公式，判斷數(shù)列{a_n}對應連續(xù)函數(shù)得單調(diào)性，得到數(shù)列的單調(diào)性，進而可得數(shù)列的最值；
（3）先用數(shù)學歸納法證明1＜a_n＜2，注意遞推式的使用，再證明數(shù)列是遞減數(shù)列，利用a_n+1-a_n＜0，不等式可證．
解答：解：（1），而，
∴．（n∈N⁺）
∴{b_n}是首項為，公差為1的等差數(shù)列．
（2）依題意有，而，
∴．對于函數(shù)，
在x＞3.5時，y＞0，，
在（3.5，+∞）上為減函數(shù)．且y＞0，故當n=4時，取最大值3．
而函數(shù)在x＜3.5時，y＜0，，
在（-∞，3.5）上也為減函數(shù)．且y＜0，故當n=3時，取最小值，a₃=-1．
∴數(shù)列{a_n}中的最大項是a₄=3；最小項是a₃=-1
（3）先用數(shù)學歸納法證明1＜a_n＜2，再證明a_n+1＜a_n．①當n=1時，1＜a₁＜2成立；
②假設當n=k時命題成立，即1＜a_k＜2，
當n=k+1時，⇒1＜a_k+1＜2故當n=k+1時也成立，
綜合①②有，命題對任意n∈N₊時成立，即1＜a_n＜2．
（也可設（1≤x≤2），則，
故1=f（1））．
進而證明a_n+1＜a_n
∵
∴a_n+1＜a_n

點評：本題綜合考查了等差數(shù)列的證明、數(shù)列的最值及數(shù)列與不等式證明，重點考查了數(shù)列的函數(shù)性質，解題時要認真體會，準確作答．