如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱被平面所截而得． ，為的中點．

（1）當時，求平面與平面的夾角的余弦值；

（2）當為何值時，在棱上存在點，使平面？

（1）分別取、的中點、，連接、．

以直線、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，則、、的坐標分別為（1，0，1）、（0，，3）、（-1，0，4），

 ∴=（-1，，2），=（-2，0，3）

設平面的法向量，

由得

，可取         …… 3分

平面的法向量可以取           

∴           …… 5分

∴平面與平面的夾角的余弦值為．                  ……6分

（2）在（1）的坐標系中，，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．

因在上，設，則

∴

于是平面的充要條件為

                                 

由此解得，          

即當=2時，在上存在靠近的第一個四等分點，使平面． ……12分

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點．
（Ⅰ）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一點P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的長；若不存在，說明理由．

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5、如圖所示的幾何體是由一個正三棱錐P-ABC與正三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面染色（底面A1B1C1不涂色），要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案共有（　�。�

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如圖所示的幾何體是由以正三角形ABC為底面的直棱柱被平面 DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O為AB的中點．
（1）當a=4時，求平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值；
（2）當a為何值時，在棱DE上存在點P，使CP⊥平面DEF？

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如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥
平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O為BC的中點．
（1）求證：AO∥平面DEF；
（2）求證：平面DEF⊥平面BCED；
（3）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點．
（1）求證：OC⊥DF；
（2）試問線段CE上是否存在一點P，使得OP∥平面DEF？若存在，求出CP的長度，若不存在，請說明理由．

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