Question

設等比數(shù)列{a_n}滿足公比q∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中的任意兩項之積也是該數(shù)列中的一項，若a₁=2⁸¹，則q的所有可能取值的集合為

{2⁸¹，2²⁷，2⁹，2³，2}

．

Answer 1

分析：依題意可求得該等比數(shù)列的通項公式a_n，設該數(shù)列中的任意兩項為a_m，a_t，它們的積為a_p，求得q=2

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p-m-t+1

，分析即可．

解答：解：由題意，a_n=2⁸¹q^n-1，設該數(shù)列中的任意兩項為a_m，a_t，它們的積為a_p，
則為a_m•a_t=a_p，即2⁸¹q^m-1•2⁸¹q^t-1=2⁸¹•q^p-1，（q，m，t，p∈N^*），
∴q=2

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p-m-t+1

，
故p-m-t+1必是81的正約數(shù)，
即p-m-t+1的可能取值為1，3，9，27，81，
即

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p-m-t+1

的可能取值為1，3，9，27，81，
所以q的所有可能取值的集合為{2⁸¹，2²⁷，2⁹，2³，2}

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式，依題意求得q=2

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p-m-t+1

是難點，分析得到p-m-t+1必是81的正約數(shù)是關鍵，考查分析與運算能力，屬于難題．