Question

（2007•崇明縣一模）某地區(qū)從2007年開始通過投資綠色生態(tài)環(huán)境建設(shè)，以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．已知2007年投入8000萬元，旅游收入1250萬元左右．根據(jù)規(guī)劃，從2008年起投入將逐年減少，比上一年少投入1000萬元，但確保每年投入不少于2000萬元；預(yù)計(jì)今后每年的旅游收入會比上年增長25%．
（1）設(shè)第n年（2007年為第1年）內(nèi)的投入為a_n萬元，旅游收入為b_n萬元，寫出a_n與b_n的表達(dá)式；
（2）從2007年算起，至少經(jīng)過多少年，該地區(qū)旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

Answer 1

分析：（1）分別寫出第1年到第7年的投入量，第7年以后的投入量，從而利用分段函數(shù)求出n年內(nèi)的總投入量a_n，再由第1年旅游業(yè)收入為1250萬元，第2年旅游業(yè)收入為1250×（1+

1

4

）萬元，歸納出第n年旅游業(yè)收入為1250×（1+

1

4

）^n-1萬元．從而得出n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入b_n．
（2）先設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由S_n＞T_n，解得n的取值范圍即可．

解答：解：（1）an=

8000-(n-1)1000  &(1≤n≤7) 2000 ，& &(n＞8)

（4分）
bn=1250×(

5

4

)n-1（8分）
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n
則Sn=

-500n2+8500n  &(1≤n≤7) 21000+2000n  & &(n＞8)

（2分）Tn=5000[(

5

4

)n-1]（4分）
由S_n＞T_n，由計(jì)算器算得n≥10，即至少經(jīng)過10年，該地區(qū)旅游業(yè)的總收入才能超過總投入．                                                           （6分）

點(diǎn)評：本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力．