Question

22.設(shè)P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),…,P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N)是二次曲線C上的點，且a₁=|OP₁|²,a₂=|OP₂|²,…,a_n=|OP_n|²構(gòu)成了一個公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，其中O是坐標原點.記S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1)若C的方程為+=1,n=3,點P₁(10，0)且S₃=255，求點P₃的坐標；(只需寫出一個)

(2)若C的方程為+=1(a＞b＞0)，點P₁(a，0)，對于給定的自然數(shù)n，當公差d變化時，求S_n的最小值；

(3)請選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上一點P₁，對于給定的自然數(shù)n，寫出符合條件的點P₁，P₂，…，P_n存在的充要條件，并說明理由.

Answer 1

22.[解] (1) a₁=|OP₁|²=100,

由S₃=(a₁+a₃)=255,得a₃=|OP₃|²=70.

由解得

∴點P₃的坐標可以為(2，).

(2)[解法一]原點O到二次曲線C：+=1(a＞b＞0)上各點的最小距離為b，最大距離為a.

∵a₁=|OP₁|²=a²,∴d＜0，且a_n=|OP_n|²=a²+(n－1)d≥b².

∴≤d＜0.

∵n≥3,＞0,

∴S_n=na²+d在［,0)上遞增.

故S_n的最小值為na²+×=.

[解法二]對每個自然數(shù)k(2≤k≤n),

由

解得y_k²=.

∵0＜y_k²≤b²,得≤d＜0,∴≤d＜0.

以下與解法一相同.

(3)[解法一]若雙曲線C：－=1，點P₁(a,0),

則對于給定的n，點P₁，P₂，…，P_n存在的充要條件是d＞0.

∵原點O到雙曲線C上各點的距離h∈［|a|,+∞)，且|OP₁|²=a²,

∴點P₁，P₂，…，P_n存在當且僅當|OP_n|²＞|OP₁|²，即d＞0.

[解法二]若拋物線C：y²=2px,點P₁(0,0)，則對于給定的n，

點P₁，P₂，…,P_n存在的充要條件是d＞0.理由同上.

[解法三]若圓C：(x－a)²+y²=a²(a≠0),點P₁(0，0)，

則對于給定的n,點P₁，P₂，…，P_n存在的充要條件是0＜d≤.

∵原點O到圓C上各點的最小距離為0，最大距離為2|a|,且|OP₁|²=0，

∴d＞0且|OP_n|²=(n－1)d≤4a²,

即0＜d≤.