【題目】在四棱錐中， ， 且， 和都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，設(shè)在底面的投影為.

（1）求證： 是的中點(diǎn)；

（2）證明： ；

（3）求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3) .

【解析】試題分析：（1）， 由底面，得，點(diǎn)為的外心，結(jié)合為是直角三角形即可證得；

（2）由（1）知，點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)， 底面，得，再分析條件可證得，從而得面，從而得證；

（3）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在射線為軸 ， 軸， 軸建系，利用兩個(gè)面的法向量求解二面角的余弦即可.

試題解析：

（1）證明：∵和都是等邊三角形，

∴， 又∵底面，∴，

則點(diǎn)為的外心，又因?yàn)?/span>是直角三角形，∴點(diǎn)為中點(diǎn).

（2）證明：由（1）知，點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，

底面，∴，

∵在中， ， ， ∴，

又且，∴，從而即，

由， 得面，∴.

（3）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在射線為軸 ， 軸， 軸建系如圖，

∵，則， ,

， ， ， ，

設(shè)面的法向量為，則，

得， ，

取，得 故.

設(shè)面的法向量為，則

， ，取，則，故，

于是，

由圖觀察知為鈍二面角，所以該二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：x2+y2=4，圓C2：（x﹣2）2+y2=4．
（1）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別求圓C1與圓C2的極坐標(biāo)方程及兩圓交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）求圓C1與圓C2的公共弦的參數(shù)方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司試銷一種成本單價(jià)為500元的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時(shí)銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，又不高于800元．經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)，函數(shù)圖象如圖所示．

(1)根據(jù)圖象，求一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的表達(dá)式；

(2)設(shè)公司獲得的毛利潤(rùn)(毛利潤(rùn)＝銷售總價(jià)－成本總價(jià))為S元．試問(wèn)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該公司可獲得最大毛利潤(rùn)？最大毛利潤(rùn)是多少？此時(shí)的銷售量是多少？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）

A. 先把高二年級(jí)的2000名學(xué)生編號(hào)為1到2000，再?gòu)木幪?hào)為1到50的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，其編號(hào)為，然后抽取編號(hào)為， ， 的學(xué)生，這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法

B. 線性回歸直線一定過(guò)樣本中心點(diǎn)

C. 若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1

D. 若一組數(shù)據(jù)1、、3的平均數(shù)是2，則該組數(shù)據(jù)的方差是

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某工廠有工人1000名，為了提高工人的生產(chǎn)技能，特組織工人參加培訓(xùn).其中250名工人參加過(guò)短期培訓(xùn)（稱為類工人），另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)（稱為類工人）.現(xiàn)從該工廠的工人中共抽查了100名工人作為樣本，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力是指工人一天加工的零件數(shù)），得到類工人生產(chǎn)能力的莖葉圖（圖1），類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖（圖2）.

（1）在樣本中求類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù)，并估計(jì)類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）若規(guī)定生產(chǎn)能力在內(nèi)為能力優(yōu)秀，現(xiàn)以樣本中頻率作為概率，從1000名工人中按分層抽樣共抽取名工人進(jìn)行調(diào)查，請(qǐng)估計(jì)這名工人中的各類人數(shù)，完成下面的列聯(lián)表.

若研究得到在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為生產(chǎn)能力與培訓(xùn)時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān)，則的最小值為多少？

參考數(shù)據(jù)：

參考公式： ，其中.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)， ，若點(diǎn)在橢圓上，則點(diǎn)稱為點(diǎn)的一個(gè)“橢點(diǎn)”.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，試求的面積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，2]上得單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)m=0，k∈R時(shí)，求函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx2在R上零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】己知函數(shù)f（x）=sinx+ cosx（x∈R），先將y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)θ（θ＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱，則θ的最小值為（ ）
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知．

（1）若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案