Question

設函數f（x）=x3-

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2

x2+6x-a．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間．
（2）若方程f（x）=0有且僅有三個實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的零點與方程根的關系

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求導函數，利用導數的正負，即可求函數f（x）的單調區(qū)間．
（2）求出函數的極大值與極小值，根據方程f（x）=0有且僅有三個實根，建立不等式，即可求實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x3-

9

2

x2+6x-a，
∴f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞2；令f′（x）＜0，可得1＜x＜2，
∞（-∞，1）和（2，+∞）是增區(qū)間；（1，2）是減區(qū)間--------（6分）
（2）由（1）知 當x=1時，f（x）取極大值f（1）=

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2

-a；
當x=2時，f（x）取極小值f（2）=2-a；----------（9分）
∵方程f（x）=0僅有三個實根．
∴

f(1)＞0 f(2)＜0

解得：2＜a＜

5

2

------------------（12分）

點評：本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性，考查函數的極值，考查學生分析解決問題的能力，求出函數的極值是關鍵．