Question

【題目】設函數（）的反函數為，.

（1）求；

（2）若函數的圖象與直線有公共點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）.

【解析】

（1）化指數式為對數式可得x＝log4（y+1），把x，y互換即可得到f﹣1（x）；

（2）利用對數的運算性質化簡h（x）＝2g（x）﹣f﹣1（x），換元后利用函數單調性求值域，即可求得使函數h（x）＝2g（x）﹣f﹣1（x）的圖象與直線y＝a有公共點的實數a的取值范圍．

解：（1）由y＝f（x）＝4x﹣1（x≥0），

得4x＝y+1，

∴x＝log4（y+1），

∴f﹣1（x）＝log4（x+1）（x≥0）；

（2）h（x）＝2g（x）﹣f﹣1（x）＝2log4（3x+1）﹣log4（x+1）

．

令F（x），

∵x≥0，∴t＝x+1≥1，

則F（x），

化為G（t）＝9t在[1，+∞）上為增函數，

則G（t）min＝G（1）＝1．

∴若函數h（x）＝2g（x）﹣f﹣1（x）的圖象與直線y＝a有公共點，則實數a的取值范圍是a≥0．