Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱CC₁的中點，Q是棱A₁D₁的中點，R是棱CD的中點，C₁Q與B₁D₁交于點E．
（Ⅰ）求證：C₁Q∥面APD₁；
（Ⅱ）求證：B₁R⊥面APD₁；
（Ⅲ）求三棱錐E-APD₁的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AD₁的中點F，連接FQ，F(xiàn)P，證明PC₁QF是平行四邊形，可得C₁Q∥PF，即可證明C₁Q∥面APD₁；
（Ⅱ）證明B₁R⊥AD₁，B₁R⊥D₁P，即可證明B₁R⊥面APD₁；
（Ⅲ）證明點E到平面APD₁的距離等于C₁到平面APD₁的距離，利用VE-APD1=VC1-APD1=VA-PC1D1求三棱錐E-APD₁的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取AD₁的中點F，連接FQ，F(xiàn)P，則FQ平行且等于

1

2

A1A，平行且等于C₁P，
∴PC₁QF是平行四邊形，
∴C₁Q∥PF，
∵C₁Q?面APD₁，PF?面APD₁，
∴C₁Q∥面APD₁；
（Ⅱ）證明：連接A₁D，C₁R，則
由正方體的性質(zhì)可知，B₁R在面AA₁D₁D中的射影為A₁D，B₁R在面CC₁D₁D中的射影為C₁R
∵A₁D⊥AD₁，C₁R⊥D₁P
∴B₁R⊥AD₁，B₁R⊥D₁P，
∵AD₁∩D₁P=D₁，
∴B₁R⊥面APD₁；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知C₁Q∥面APD₁，
∴點E到平面APD₁的距離等于C₁到平面APD₁的距離，
∴VE-APD1=VC1-APD1=VA-PC1D1=

1

3

S△PC1D1•AD=

1

12

．

點評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，考查錐體體積的計算，屬于中檔題．．