Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+

a

x-1

在（0，

1

e

）內(nèi)有極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若m，n分別為f（x）的極大值和極小值，記S=m-n，求S的取值范圍．（注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由于函數(shù)f（x）在（0，

1

e

）內(nèi)有極值．可知：f′（x）=0在(0，  

1

e

)內(nèi)有解，利用二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)存在定理即可得出；
（2）由f′（x）＞0得0＜x＜α或x＞β，由f′（x）＜0得α＜x＜1或1＜x＜β．進(jìn)而得出f（x）的單調(diào)性．
由m=f（α），n=f（β），α+β=a+2，α•β=1，可得S=m-n=f(α)-f(β)=lnα+

a

α-1

-lnβ-

a

β-1

=-2lnβ-γ+

1

β

．記h（β）=-2lnβ-γ+

1

β

．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：f（x）的定義域?yàn)閧x|0＜x＜1，或x＞1}．
（1）f′(x)=

1

x

-

a

(x-1)2

=

x2-(a+2)x+1

x(x-1)2

，
∵函數(shù)f（x）在（0，

1

e

）內(nèi)有極值．
∴f′（x）=0在(0，  

1

e

)內(nèi)有解，
令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β），
不妨設(shè)0＜α＜

1

e

，則β=

1

α

＞e
∴g(0)=1＞0，  g(

1

e

)=

1

e2

-

a+2

e

+1＜0，
解得：a＞e+

1

e

-2．
（2）由f′（x）＞0得0＜x＜α或x＞β，
由f′（x）＜0得α＜x＜1或1＜x＜β．
∴f（x）在（0，α）內(nèi)遞增，在（α，1）內(nèi)遞減，在（1，β）內(nèi)遞減，在（β，+∞）內(nèi)遞增．
∴m=f（α），n=f（β）．
∵α+β=a+2，α•β=1，
∴S=m-n=f(α)-f(β)=lnα+

a

α-1

-lnβ-

a

β-1

=-2lnβ-a•

1 β -β

2-(α+β)

=-2lnβ-β+

1

β

．
記h(β)=-2lnβ-β+

1

β

，  h′(β)=-

1

β

-1-

1

β2

＜0，
∴h（β）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴h(β)＜h(e)=-2-e+

1

e

，
又當(dāng)β→+∞時(shí)，h（β）→-∞，
∴S∈(-∞，  -2-e+

1

e

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．