Question

 

已知關于x的方程|x²+ax+b|=2，（其中a、b∈R）的解集為M，且M中有三個元素.

   （1）求b=f(a)的表達式.

   （2）請求出M中元素恰好為直角三角形三邊長的充要條件.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）原方程等價于x²+ax+b=2和x²+ax+b－2，

    其中判別式分別為△₁=ab+8，△₂=ab－8，……………………2分

    ∵△₁>△₂，而M中有三個元素，

∴△₂=0，即ab－8=0

…………………………………………………………6分

   （2）由（1）知，ab=8，

∴由求根公式解出原方程的解為－，－－2，－+2.

①必要性，由于以這三個元素恰好為直角三角形三邊長，

∴（－）²+（－－2）²=（－+2）²，解得a=－16，從而b=62.…………8分

②充分性。如果a=－16,b=62，則可得方程的解集為M={10，6，8}.

這時三個元素恰為直角三角形的三邊長.

∴所求的充要條件是a－16,b=62.…………………………………………12分