定長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A、B在拋物線y2=x上移動(dòng),求AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值,并求出此時(shí)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo).

答案:
解析:

  解:如圖,設(shè)F是拋物線y2=x的焦點(diǎn),A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是AC、BD,M點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線為MN,N為垂足,則|MN|=(|AC|+|BD|).

  根據(jù)拋物線定義得

  |AC|=|AF|,|BD|=|BF|,

  ∴|MN|=(|AF|+|BF|)≥

  設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,則|MN|=x+

  ∴x=|MN|

  等號(hào)成立的條件是弦AB過(guò)點(diǎn)F,

  由于|AB|>2p=1.

  ∴AB過(guò)焦點(diǎn)是可能的,此時(shí)M點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離是,即AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.當(dāng)F在AB上時(shí),設(shè)A、B的縱坐標(biāo)分別為y1、y2,則y1y2

  ∴(y1+y2)2=y(tǒng)12+y22+2y1y2=2×=2.

  ∴y1+y2=±

  ∴此時(shí)AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±

  ∴M的坐標(biāo)為(,±)時(shí),M到y(tǒng)軸距離的最小值為

  解析:本題主要考查拋物線的有關(guān)知識(shí)及綜合解決問(wèn)題的能力.


提示:

此題的難點(diǎn)是求最小值,而利用拋物線定義及梯形中位線性質(zhì)等幾何知識(shí)使問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單,這再一次說(shuō)明在解題中注意運(yùn)用圓錐曲線的定義及有關(guān)的幾何知識(shí),對(duì)解題是非常有益的.


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(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l交軌跡C于A、B兩點(diǎn),問(wèn):線段OF上是否存在一點(diǎn)D,使得以DA,DB為鄰邊的平行四邊形為菱形?作出判斷并證明.

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