定長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A、B在拋物線y2=x上移動(dòng),求AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值,并求出此時(shí)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo).
解:如圖,設(shè)F是拋物線y2=x的焦點(diǎn),A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是AC、BD,M點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線為MN,N為垂足,則|MN|=(|AC|+|BD|). 根據(jù)拋物線定義得 |AC|=|AF|,|BD|=|BF|, ∴|MN|=(|AF|+|BF|)≥. 設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,則|MN|=x+, ∴x=|MN|≥. 等號(hào)成立的條件是弦AB過(guò)點(diǎn)F, 由于|AB|>2p=1. ∴AB過(guò)焦點(diǎn)是可能的,此時(shí)M點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離是,即AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.當(dāng)F在AB上時(shí),設(shè)A、B的縱坐標(biāo)分別為y1、y2,則y1y2==. ∴(y1+y2)2=y(tǒng)12+y22+2y1y2=2×=2. ∴y1+y2=±. ∴此時(shí)AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±. ∴M的坐標(biāo)為(,±)時(shí),M到y(tǒng)軸距離的最小值為. 解析:本題主要考查拋物線的有關(guān)知識(shí)及綜合解決問(wèn)題的能力. |
此題的難點(diǎn)是求最小值,而利用拋物線定義及梯形中位線性質(zhì)等幾何知識(shí)使問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單,這再一次說(shuō)明在解題中注意運(yùn)用圓錐曲線的定義及有關(guān)的幾何知識(shí),對(duì)解題是非常有益的. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:高三數(shù)學(xué)教學(xué)與測(cè)試 題型:044
定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在=x上移動(dòng),AB的中點(diǎn)為M,求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離,并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
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