Question

設(shè)f（x）=2x-

3

x

（1）指出函數(shù)的定義域，證明f（x）為奇函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性并用定義證明；
（3）試比較f（π）與f（log₂7）的大小關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，f（x）=2x-

3

x

的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）；再證明f（-x）=-f（x）即可；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步，取值，作差，化簡變形，判號，下結(jié)論；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答： 解：（1）f（x）=2x-

3

x

的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）；
又∵f（-x）=2（-x）-

3

-x

=-（2x-

3

x

）=-f（x）；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，證明如下，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）
=2x₁-

3

x1

-（2x₂-

3

x2

）
=（x₁-x₂）（2+

3

x1x2

）；
∵0＜x₁＜x₂，
∴（x₁-x₂）（2+

3

x1x2

）＜0；
故f（x₁）＜f（x₂）；
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）∵0＜log₂7＜3＜π；
∴f（π）＞f（log₂7）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．