Question

如圖直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CA=CB，E、F、M分別是棱CC₁、AB、BB₁中點．
（1）求證：平面AEB₁∥平面CFM；   
（2）求證：CF⊥BA₁．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質,平面與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）利用平面與平面平行的判定定理可得結論；
（2）證明CF⊥平面ABB₁A₁，即可證明CF⊥BA₁．

解答： 證明：（1）∵B₁M∥CE，且B₁M=CE，
∴四邊形CEB₁M是平行四邊形，
∴CE∥EB₁
又∵FM∥AB₁，
CF∩FM=M，EB₁∩AB₁=B₁，
∴平面AEB₁∥平面CFM；
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥CF，
∵AC=BC，AF=FB，
∴CF⊥AB，BB₁∩AB=B，
∴CF⊥平面ABB₁A₁，
∴CF⊥BA₁．

點評：本題考查平面與平面平行的判定定理，考查線面垂直的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．