已知是拋物線上的兩個點,點的坐標(biāo)為,直線的斜率為.設(shè)拋物線的焦點在直線的下方.
(Ⅰ)求k的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)C為W上一點,且,過兩點分別作W的切線,記兩切線的交點為. 判斷四邊形是否為梯形,并說明理由.
(Ⅰ);(2)四邊形不可能為梯形,理由詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)(Ⅰ)直線過點,且斜率為k,所以直線方程可設(shè)為,若焦點在直線的下方,則滿足不等式,代入求的范圍;(Ⅱ)設(shè)直線的方程為,,分別與拋物線聯(lián)立,因為直線和拋物線的一個交點坐標(biāo)已知,故可利用韋達(dá)定理求出切點的橫坐標(biāo),則可求在點處的切線斜率,若四邊形是否為梯形,則有得或,根據(jù)斜率相等列方程,所得方程無解,故四邊形不是梯形.
試題解析:(Ⅰ)解:拋物線的焦點為.由題意,得直線的方程為,
令,得,即直線與y軸相交于點.因為拋物線的焦點在直線的下方,
所以,解得,因為,所以.
(Ⅱ)解:結(jié)論:四邊形不可能為梯形.理由如下:
假設(shè)四邊形為梯形.由題意,設(shè),,,
聯(lián)立方程,消去y,得,由韋達(dá)定理,得,所以.
同理,得.對函數(shù)求導(dǎo),得,所以拋物線在點處的切線的斜率為,拋物線在點處的切線的斜率為.
由四邊形為梯形,得或.
若,則,即,因為方程無解,所以與不平行.
若,則,即,因為方程無解,所以與不平行.所以四邊形不是梯形,與假設(shè)矛盾.因此四邊形不可能為梯形.
考點:1、直線的方程;2、直線和拋物線的位置關(guān)系;3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂在坐標(biāo)原點,焦點到直線的距離是
(1)求拋物線的方程;
(2)若直線與拋物線交于兩點,設(shè)線段的中垂線與軸交于點 ,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知線段MN的兩個端點M、N分別在軸、軸上滑動,且,點P在線段MN上,滿足,記點P的軌跡為曲線W.
(1)求曲線W的方程,并討論W的形狀與的值的關(guān)系;
(2)當(dāng)時,設(shè)A、B是曲線W與軸、軸的正半軸的交點,過原點的直線與曲線W交于C、D兩點,其中C在第一象限,求四邊形ACBD面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:的一個焦點是(1,0),兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點Q(4,0)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點,設(shè)點A關(guān)于x軸的
對稱點為A1.求證:直線A1B過x軸上一定點,并求出此定點坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知過點的橢圓:的右焦點為,過焦點且與軸不重合的直線與橢圓交于,兩點,點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為,直線,分別交橢圓的右準(zhǔn)線于,兩點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點的坐標(biāo)為,試求直線的方程;
(3)記,兩點的縱坐標(biāo)分別為,,試問是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的左、右焦點分別為、,為原點.
(1)如圖1,點為橢圓上的一點,是的中點,且,求點到軸的距離;
(2)如圖2,直線與橢圓相交于、兩點,若在橢圓上存在點,使四邊形為平行四邊形,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:的離心率為,右焦點為,右頂點在圓:上.
(Ⅰ)求橢圓和圓的方程;
(Ⅱ)已知過點的直線與橢圓交于另一點,與圓交于另一點.請判斷是否存在斜率不為0的直線,使點恰好為線段的中點,若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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