Question

已知函數(shù)f(x)=

1

x2

+1．
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性并證明；
（2）求f（x）在區(qū)間[1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，然后設(shè)x₁、x₂是區(qū)間（0，+∞）上任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，最后判定f（x₁）-f（x₂）的符號，得到結(jié)論；
（2）利用函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的單調(diào)性可求出函數(shù)最大值和最小值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．（2分）
證明如下：
設(shè)x₁、x₂是區(qū)間（0，+∞）上任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，則（1分）f（x₁）-f（x₂）=(

1

x12

+1)-(

1

x22

+1)=

(x1+x2)(x2-x1)

(x1x2)2

（3分）
∵x₂＞x₁＞0
∴x₁+x₂＞0、x₂-x₁＞0、（x₁x₂）²＞0（1分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．（1分）
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上是減函數(shù)，（1分）
所以當x=1時，取最大值，最大值為f（1）=2
當x=3時，取最小值，最小值為f(3)=

10

9

（3分）

點評：本題考查求函數(shù)單調(diào)性判斷和證明，屬基本題型、基本方法的考查，難度不大．解答關(guān)鍵是化簡變形．