Question

等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，前n項(xiàng)和為S_n，給出下列四個(gè)命題：
①數(shù)列{（

1

2

） an}為等比數(shù)列；
②若a₂+a₇+a₁₂=9，則S₁₃=39；
③Sn=nan-

n(n-1)

2

d；
④若d＞0，則S_n一定有最小值．
其中真命題的序號(hào)是

 

（寫出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的定義能判斷①的正誤；利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式能判斷②和③的正誤；利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和二次函數(shù)的性質(zhì)能判斷④的正誤．

解答：解：∵等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
∴a_n=a₁+（n-1）d，
∴(

1

2

)an=(

1

2

)a1+(n-1)d，
∴

( 1 2 )an+1

( 1 2 )an

=

( 1 2 )a1+nd

( 1 2 )a1+(n-1)d

=（

1

2

）^d，
∴數(shù)列{（

1

2

） an}為等比數(shù)列，即①正確；
∵a₂+a₇+a₁₂=9，
∴3a₇=9，即a₇=3，
∴S₁₃=

13

2

(a1+a13)=13a₇=39，即②正確；
∵na_n-

n(n-1)d

2

=n[a1+(n-1)d]-

n(n-1)

2

d
=na1+n(n-1)d-

n(n-1)

2

d
=na1+

n(n-1)d

2

=S_n，即③正確；
∵Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n，
∴若d＞0，則S_n一定有最小值，即④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用，解題時(shí)要靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．