Question

 已知數列{a_n}前n項和為S_n，且a₂a_n＝S₂＋S_n對一切正整數都成立．

(1) 求a₁，a₂的值；

(2) 設a₁＞0，數列前n項和為T_n，當n為何值時，T_n最大？并求出最大值．

Answer 1

解：(1) 取n＝1時，a₂a₁＝S₂＋S₁＝2a₁＋a₂，①

取n＝2時，a＝2a₁＋2a₂.　②

由②－①得，a₂(a₂－a₁)＝a₂.　③

若a₂＝0，由①知a₁＝0；

若a₂≠0，由③知a₂－a₁＝1.�、�

由①④解得a₁＝＋1，a₂＝2＋或a₁＝1－，a₂＝2－.　

綜上所述，a₁＝0，a₂＝0或a₁＝＋1，a₂＝＋2或a₁＝1－，a₂＝2－.

(2) 當a₁＞0時，a₁＝＋1，a₂＝＋2.

n≥2時，有(2＋)a_n＝S₂＋S_n，

(2＋)a_n－1＝S₂＋S_n－1，

∴  (1＋)a_n＝(2＋)a_n－1，

即a_n＝a_n－1(n≥2)，

∴  a_n＝a₁()^n－1＝(＋1)()^n－1.

令，

故{b_n}是遞減的等差數列，從而b₁＞b₂＞…＞b₇＝lg＞lg1＝0，

n≥8時，b_n≤b₈＝＝0，

故n＝7時，T_n取得最大值，T₇＝7－lg2.