Question

已知F是橢圓5x²+9y²=45的右焦點(diǎn)，P為該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A（2，1）是一定點(diǎn)．
（1）求|PA|+

3

2

|PF|的最小值，并求相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求|PA|+|PF|的最大值與最小值；
（3）過點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求|MN|；
（4）求過點(diǎn)A且以A為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：|PA|+

3

2

|PF|=|PA|+

1

e

|PF|，進(jìn)而根據(jù)橢圓的第二定義可得：過A作右準(zhǔn)線的垂線，交與B點(diǎn)，則|PA|+

3

2

|PF2|的最小值為|AB|，即可得到答案．
（2）根據(jù)橢圓的第一定義：|PA|+|PF₁|=2a+|PA|-|PF₂|，結(jié)合圖形可得||PA|-|PF₂||≤|AF₂|=1?-1≤|PA|-|PF₂|≤1，即可解決問題．
（3）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程利用由弦長公式可得答案．
（4）設(shè)出直線方程代入橢圓的方程進(jìn)行化簡，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得答案．

解答：解：（1）由題意可得：e=

2

3

所以 |PA|+

3

2

|PF|=|PA|+

1

e

|PF|，
∴根據(jù)橢圓的第二定義：過A作右準(zhǔn)線的垂線，交與B點(diǎn)，則|PA|+

3

2

|PF2|的最小值為|AB|，
∵|AB|=

5

2

∴，|PA|+

3

2

|PF|的最小值

5

2

，并且P（

6 5

5

，1）．
（2）根據(jù)橢圓的第一定義：|PA|+|PF₁|=2a+|PA|-|PF₂|
如圖所示：因?yàn)閨|PA|-|PF₂||≤|AF₂|=1?-1≤|PA|-|PF₂|≤1，
所以5＜6+|PA|-|PF₂|＜7，即5＜|PA|+|PF₁|＜7，
所以PA|+|PF|的最大值與最小值分別為5，7．
（3）由題意可得：直線方程為

3

x-y-2

3

=0，
聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：32x²-108x+63=0，
所以x₁+x₂=

27

8

，x₁•x₂=

63

32

，
由弦長公式可得：|MN|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

15

4

．
（4）由題意得，斜率存在，設(shè)為 k，則直線l的方程為 y-1=k（x-2），
代入橢圓的方程化簡得：（5+9k²）x²+18k（1-2k）x+9（1-2k）²-45=0，
因?yàn)锳為弦的中點(diǎn)，
所以x₁+x₂=4，即

18k(2k-1)

5+9k2

=4，解得k=-

10

9

，
所以以A為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為10x+9y-29=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用以及橢圓中線段的最值問題，求解時(shí)要充分利用橢圓的定義可使得解答簡潔，并且還考查了弦長問題與弦中點(diǎn)問題．