Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：直線(xiàn)MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求異面直線(xiàn)AB與MD所成角的大�。�

Answer 1

分析：方法一（綜合法）
（Ⅰ）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE．利用三角形的中位線(xiàn)定理和菱形的性質(zhì)可得ME∥CD，NE∥OC，利用面面平行的判定定理得到平面MNE∥平面OCD，進(jìn)而得到MN∥平面OCD．
（Ⅱ）由于CD∥AB，可得∠MDC或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)AB與MD所成的角．作AP⊥CD于P，連接MP，在△MDP 中求出即可．
方法二（向量法）
作AP⊥CD于點(diǎn)P，如圖，分別以AB，AP，AO，所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立坐標(biāo)系．
（I）利用MN與平面OCD的法向量垂直即可證明．
（II）利用向量的夾角公式即可得出．

解答：方法一（綜合法）
（Ⅰ）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE．
∵M(jìn)E∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD．
又∵NE∥OC，
∴平面MNE∥平面OCD，
∴MN∥平面OCD．
（Ⅱ）∵CD∥AB，
∴∠MDC或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)AB與MD所成的角．
作AP⊥CD于P，連接MP，
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP，
∵∠ADP=

π

4

，∴DP=

2

2

，MD=

MA2+AD2

=

2

，
∴cos∠MDP=

DP

MD

=

1

2

，∠MDC=∠MDP=

π

3

．
∴AB與MD所成角的大小為

π

3

．
方法二（向量法）
作AP⊥CD于點(diǎn)P，如圖，分別以AB，AP，AO，所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立坐標(biāo)系．
A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，

2

2

，0)，D(-

2

2

，

2

2

，0)，O(0，0，2)M(0，0，1)，N(1-

2

4

，

2

4

，0)，
（Ⅰ）

MN

=(1-

2

4

，

2

4

，-1)，

OP

=(0，

2

2

，-2)，

OD

=(-

2

2

，

2

2

，-2)
設(shè)平面OCD的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n

•

OP

=0，

n

•

OD

=0
即 

2 2 y-2z=0 - 2 2 x+ 2 2 y-2z=0

，取z=

2

，解得

n

=(0，4，

2

)，
∵

MN

•

n

=(1-

2

4

，

2

4

，-1)•(0，4，

2

)=0．
∴MN∥平面OCD．
（Ⅱ）設(shè)AB與MD所成的角為θ，
∵

AB

=(1，0，0)，

MD

=(-

2

2

，

2

2

，-1)，
∴cosθ=

| AB • MD |

| AB |•| MD |

=

1

2

，
∴θ=

π

3

，即AB與MD所成角的大小為

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用綜合法或向量法證明線(xiàn)面平行和異面直線(xiàn)所成的夾角，考查了三角形的中位線(xiàn)定理和菱形的性質(zhì)、面面平行的判定定理、線(xiàn)面平行的判定定理、異面直線(xiàn)所成的角、線(xiàn)面平行于法向量的關(guān)系、向量的夾角公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．