已知函數(shù) f ( x ) = lg ( ax2 + 2x + 1 )．

（1）若函數(shù)f ( x )的定義域?yàn)?/span>R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若函數(shù)f ( x )的值域?yàn)?/span>R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

答案：
解析：

解：（1）f ( x )的定義域?yàn)?/span>R，即

x的不等式 ax 2+2x+1 > 0的解集為R．

當(dāng)a = 0時(shí)，此不等式為2x+1 > 0，其解集不為R；

當(dāng)a≠0時(shí)，有  a > 1 ．

∴ a的取值范圍為a > 1．

（2）f ( x )的值域?yàn)?/span>R，即

u = ax 2+2x+1的值取遍一切正數(shù)

a = 0  或   0≤a≤1．

∴ a的取值范圍為 0≤a≤1．

 


提示：

f ( x )的定義域?yàn)?b>R，即x的不等式ax2 + 2x + 1 > 0的解集為R。f ( x )的值域?yàn)?b>R與ax2 + 2x + 1的值恒為正值是不等價(jià)的，因?yàn)檫@里要求f ( x )的值要取遍一切實(shí)數(shù)，即要求u = ax2 + 2x + 1的值取遍一切正數(shù)，由此確定a的取值范圍。

 


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時(shí)f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對(duì)于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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