已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上任意一點(diǎn)（點(diǎn)第一象限內(nèi)），過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn)、．

（1）證明：；

（2）若橢圓離心率為，求線段長度的最大值．

 

【答案】

（1）略（2） 2

【解析】(1) 設(shè)，先利用焦半徑公式表示,然后再想法求出|PQ|，也用x1表示出來.相加即可.

(2)根據(jù)離心率可求出a值，進(jìn)而橢圓方程確定，然后設(shè)直線的方程為,由直線QR與圓O相切，進(jìn)而得到,

然后直線與橢圓方程聯(lián)立，消y之后，表示出,

則,，,因而確定當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值2.

（1）設(shè)，得，…………………3分

由是圓的切線，，

注意到，，……………6分

所以．                            ……………7分

（2）由題意，，．      …………………………9分

方法一：設(shè)直線的方程為，點(diǎn)在第一象限，．

由直線與圓相切，．   …………………………11分

由，消得，

設(shè)，則．

由（1）知，，…14分

，．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值2，此時(shí)直線的方程為，過焦點(diǎn)．

方法二：設(shè)，則直線的方程為．  ……11分

由，消得，

則，，，

由（1）知，，……14分

，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值2，此時(shí)，直線過焦點(diǎn)． 

方法三：由（1）同理可求，則，………11分

，

當(dāng)且僅當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，從而．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，A、B是橢圓上兩點(diǎn)，且|AF|：|BF|=3：2，直線AB與l交于點(diǎn)C，則B分有向線段
AC
所成的比為（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
2
3
D、
3
2

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已知橢圓的右焦點(diǎn)為F2（1，0），點(diǎn) 在橢圓上.

（1）求橢圓方程；

（2）點(diǎn)在圓上，M在第一象限，過M作圓的切線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值，如不是，說明理由.

 

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已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為B，離心率為，圓與軸交于兩點(diǎn)

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，過點(diǎn)與圓相切的直線與的另一交點(diǎn)為，求的面積

 

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已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，以點(diǎn)為圓心的圓與軸相切，且同時(shí)與軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為         ．

 

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已知橢圓 的右焦點(diǎn)為且,設(shè)短軸的一個(gè)端點(diǎn)為,原點(diǎn)到直線的距離為，過原點(diǎn)和軸不重合的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且.

(1) 求橢圓的方程；

(2) 是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)且使得成立？若存在，試求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

 

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